Матричные вычисления в Mathcad

много порева

MathCAD

Пустой Mathcad-документ – это волшебный лист бумаги, на котором пользователь с помощью клавиатуры и мыши может писать математические выражения в виде, принятом научным миром задолго до появления компьютера. В этом одна из причин популярности Mathcad.
Создать математические выражения помогают специальные панели (палитры) кнопок

Синее и черное, или Задача Удодова
Технология решения задач в среде Mathcad во многом похожа на подход Удодова-отца. Компьютеру достаточно сообщить условия задачи – и пусть себе решает, лишь бы ответ сошелся. О методах решения задач пользователь начинает задумываться, когда происходит осечка, что случается довольно редко, если иметь в виду не слишком сложные задачи (не суперзадачи, решение которых требует разработки специального матобеспечения).

Задача о купце и сукне: решение Удодова-отца I
Экран дисплея при работе в среде Mathcad 8 Pro
Панели математических инструментов Mathcad 8 Pro
Задача о купце и сукне: решение Удодова-отца II
Задача о купце и сукне: решение Удодова-отца II - 2
Задача о купце и сукне: решение Удодова-отца III
Задача о купце и сукне: решение Пети
Задача о купце и сукне: решение Пети - 2
Задача о купце и сукне: решение Зиберова
Задача о купце и сукне: решение Зиберова - 2

Поиск корня алгебраического
Версии Mathcad начиная с 4.0 – это полноценные Windows-приложения. При решении конкретной задачи в среде Mathcad можно в статике (через файлы на диске или через Буфер обмена – Clipboard) или в динамике (технология DDE и OLE) перенести данные (скаляр, вектор или матрицу) в среду, например, fortran’а и, используя богатый набор средств вычислительной математики этого языка, решить задачу (этап задачи). В среде Mathcad 7 Pro и 8 Pro эта технология была развита и визуализирована через инструментарий MathConnex

Панель программирования
Панель программирования Mathcad
Панель программирования Mathcad - 2
Численное решение задачи Коши (цикл while)
Численное решение задачи Коши (цикл while) - 2
Налоги США (иллюстрация конструкции «выбор»)
Налоги США (иллюстрация конструкции «выбор») - 2
Решение головоломки USA+USSR=PEACE
Решение головоломки USA+USSR=PEACE - 2
Программа-константа – программа-переменная

Гибридное решение задачи на компьютере
Сейчас вошли в моду шахматные турниры между машиной и человеком (между ЭЦВМ и био-ABM, грубо говоря). Но все прекрасно понимают, что это событие не шахматной, а рекламной жизни (Intel Inside). Даже турниры гроссмейстеров часто не открывают ничего нового в теории шахмат, а просто сводятся к выявлению шахматиста, сделавшего наименьшее число «зевков». Интересно было бы провести соревнование ЭЦВМ с «гибридной машиной» – с этаким шахматным кентавром – с перворазрядником, работающим в паре с компьютером, который, во-первых, страхует от «зевков», а во-вторых, выдает варианты очередных ходов. Гибрид человека и компьютера – это основа современных систем управления, сбои в которых дорого обходятся человечеству

Гибридное решение задачи о коробках
Гибридное решение задачи о коробках - 2
Гибридное решение задачи о коробках - 3
Гибридное решение задачи о коробках - 4
Гибридное решение задачи о коробках - 5
Гибридное решение задачи о коробках - 6
A genuinely optimum fire bucket
A genuinely optimum fire bucket - 2
A genuinely optimum fire bucket - 3
A genuinely optimum fire bucket - 4

Матричные вычисления в Mathcad

Рассматриваются численные методы решений задач с начальными условиями (называемых задачами Коши) для обыкновенных дифференциальных уравнений (далее используется сокращение ОДУ). Такие задачи требуют нахождения функции (или нескольких функций) одной переменной, если, во-первых, определено дифференциальное уравнение (или система уравнений), содержащее производную функции, и, во-вторых, необходимое количество дополнительных условий, задающих значение функции в некоторой начальной точке.
Решение задач Коши для ОДУ — давно и детально разработанная технология. С "хорошими" ОДУ вообще никаких вычислительных проблем обычно не возникает (чаще всего они решаются при помощи алгоритма Рунге—Купы), а для ОДУ особого типа, называемых жесткими, необходимо применять специальные методы. Все эти возможности заложены в Mathcad, причем пользователю позволено выбирать конкретный алгоритм решения ОДУ.

Обыкновенные дифференциальные уравнения динамические системы
В этой главе рассматриваются численные методы решений задач с начальными условиями (называемых задачами Коши) для обыкновенных дифференциальных уравнений (далее используется сокращение ОДУ). Такие задачи требуют нахождения функции (или нескольких функций) одной переменной, если, во-первых, определено дифференциальное уравнение (или система уравнений), содержащее производную функции, и, во-вторых, необходимое количество дополнительных условий, задающих значение функции в некоторой начальной точке.

Задачи Коши для ОДУ
Листинг демонстрирует решение
Листинг - Решение задачи Коши
Решение уравнения w2у"+?у'+у=0
Фазовый портрет динамической системы
Решение уравнения w2у' '+?у'+у=0
Решение уравнения со2у' '+у=0
Дифференциальное уравнение Nго порядка
Решение уравнения w2у''+?у '+у+?у2=0
Решение задачи Коши для ОДУ второго порядка

Обыкновенные дифференциальные уравнения краевые задачи
В этой главе рассматриваются краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Средства Mathcad, реализующие алгоритм стрельбы (см. разд. 10.2), позволяют решать краевые задачи для систем ОДУ, в которых часть граничных условий поставлена в начальной точке интервала, а остальная часть — в его конечной точке. Также возможно решать уравнения с граничными условиями, поставленными в некоторой внутренней точке.

Модель краевой задачи
Решение краевых задач средствами Mathcad
Алгоритм стрельбы
Решение пробной задачи Коши для модели (10 1)
Иллюстрация метода стрельбы
Двухточечные краевые задачи
Листинг 10 2 Решение краевой задачи
Решение краевой задачи для R=l
Решение краевой задачи для R=0
Краевые задачи с условием во внутренней точке

Дифференциальные уравнения в частных производных
Дифференциальные уравнения в частных производных представляют собой одну из наиболее сложных и одновременно интересных задач вычислительной математики. Эти уравнения характеризуются тем, что для их решения не существует единого универсального алгоритма, и большинство задач требует своего собственного особого подхода. Уравнениями в частных производных описывается множество разнообразных физических явлений, и с их помощью можно с успехом моделировать самые сложные явления и процессы

Классификация уравнений в частных производных
Пример уравнение диффузии тепла
Двумерное уравнение теплопроводности
Решение стационарного двумерного уравнения
Модель одномерного уравнения теплопроводности
Решение уравнения теплопроводности
Численное решение обратного уравнения
Разностные схемы
Явная схема Эйлера
Шаблон аппроксимации явной схемы

Статистика
Имеется большое количество встроенных специальных функций, позволяющих рассчитывать плотности вероятности и другие основные характеристики основных законов распределения случайных величин. Наряду с этим, в Mathcad запрограммировано соответствующее количество генераторов псевдослучайных чисел для каждого закона распределения, что позволяет эффективно проводить моделирование методами Монте-Карло

Статистические распределения
Статистические функции
Плотность вероятности некоторых распределений
Диалоговое окно Insert Function
Пример нормальное (Гауссово) распределение
Плотность вероятности распределений
Нормальные функции распределения
Вероятность того что х будет меньше 1 881
97% квантиль нормального распределения
Вероятность того что х будет больше 2

Интерполяция и регрессия
Посвятим данную главу самым простым методам обработки данных — интерполяции-экстраполяции и регрессии. Будем считать, что основным объектом исследования будет выборка экспериментальных данных, которые, чаще всего, представляются в виде массива, состоящего из пар чисел (xi,yi) (проблеме ввода/вывода числовых данных во внешние файлы посвящен заключительный раздел этой главы).

Разные задачи аппроксимации данных
Интерполяция
Линейная интерполяция
Линейная интерполяция - листинг 13 1
Листинг 13 1 Линейная интерполяция
Построение графика функции
Кубическая сплайнинтерполяция
Листинг - Кубическая сплайнинтерполяция
Сплайнинтерполяция
Сплайнинтерполяция с lspline

Спектральный анализ
Мощным инструментом обработки данных, определенных дискретной зависимостью y(xi) или непрерывной функцией f(x) (полученной, например посредством интерполяции или регрессии, как об этом рассказано в главе 13), является спектральный анализ, имеющий в своей основе различные интегральные преобразования. Спектральный анализ используется как в целях подавления шума, так и для решения других проблем обработки данных.

Фурьеспектр
Фурьеспектр действительных данных
Исходные модельные данные
Листинг 14 1 демонстрирует расчет
Быстрое преобразование Фурье
Матрица -результат вычисления Фурье
График Фурье спектра данных
Низкочастотная область Фурье спектра
Обратное преобразование Фурье
Обратное преобразование Фурье -2

Новые возможности Mathcad 12
Новый более быстрый математический процессор. Модернизированный аппарат работы с размерными перемеменными, статическая проверка размерности, новые единицы измерения (ангстрем и т. д.)

Новые возможности Mathcad 12
Новые возможности Mathcad 11

Команды меню
Команды меню
Панель Math (Математика)
Панель Calculator (Калькулятор)
Панель Graph (График)
Панель Matrix (Матрица)
Панель Evaluation (Выражения)
Панель Calculus (Вычисления)
Панель Boolean (Булевы операторы)

Арифметические операторы
Арифметические операторы
Вычислительные операторы
Встроенные функции
Встроенные функции финансового анализа

Сообщения об ошибках


Ресурсы Mathcad
Ресурсы Mathcad (Mathcad Resource) — это библиотека электронных книг, поставляемая вместе с Mathcad 12. Она содержит обширную справочную информацию и обладает всеми свойствами электронных книг, подключаемых к Mathcad. Ресурсы представляют собой сборник примеров решения различных математических, физических и инженерных задач и содержат справочную информацию о возможностях Mathcad.

Tutorials (Учебники)
OuickSheets (Быстрые шпаргалки)


Математические задачи в пакете MathCAD 12

Mathcad — необычная программа. Она относится к классу приложений, называемых PSE (problem solution environment — программная среда для решения задач). Это подразумевает, что ее работа не определяется однозначно действиями пользователя (как, например, в текстовых редакторах и т. п.), а является (в большей степени) результатом работы встроенных алгоритмов, недоступных взору исследователя. Введя в редакторе Mathcad выражение, даже довольно простое, например, df (x)/dx=, и получив некоторый ответ, многие даже не задумываются о том, что для его вычисления проделывается довольно сложная работа, результат которой заранее не предопределен и зависит от целого ряда факторов, не представленных непосредственно на рабочей области документа (свойств функции f, параметров численного алгоритма дифференцирования, значения системных констант и т. д.). Поэтому, проводя даже очень простые расчеты, вам придется иногда сталкиваться с неочевидным поведением программы, которое нельзя понять без ясного представления об основах работы соответствующих алгоритмов, встроенных в Mathcad.
Приложение Mathcad компании MathSoft — самый популярный из компьютерных математических пакетов, остающийся, бесспорно, на протяжении многих последних лет лидером в своем классе математического и образовательного программного обеспечения (ПО). С его помощью можно решать самые разные математические задачи и оформлять результаты расчетов на высоком профессиональном уровне, и сейчас уже сложно представить современного ученого, не пользующегося Mathcad. При помощи этого пакета осуществляются не только простые и вспомогательные вычисления, но и довольно сложные расчеты и научные исследования, использующие комбинации самых разных численных алгоритмов и аналитических преобразований.
Книга может использоваться как самоучитель, позволяющий "с нуля" освоить самые главные возможности вычислительной системы Mathcad и научиться с ее помощью решать все основные задачи математики. Тем не менее ее главная цель — изложить материал, делая акцент на решении конкретных математических проблем.
Хочется сделать еще несколько замечаний по строению книги. Все листинги автономны и работают вне каких-либо дополнительных модулей. В листингах умышленно, чтобы не загромождать их, нет текстовых полей, — они содержат только расчеты по формулам. Все комментарии к ним находятся в тексте. Почти все графики вынесены в рисунки, причем, если они являются продолжением листингов, это помечено в подрисуночной подписи.

Введение
Приложение Mathcad компании MathSoft — самый популярный из компьютерных математических пакетов, остающийся, бесспорно, на протяжении многих последних лет лидером в своем классе математического и образовательного программного обеспечения (ПО). С его помощью можно решать самые разные математические задачи и оформлять результаты расчетов на высоком профессиональном уровне, и сейчас уже сложно представить современного ученого, не пользующегося Mathcad. При помощи этого пакета осуществляются не только простые и вспомогательные вычисления, но и довольно сложные расчеты и научные исследования, использующие комбинации самых разных численных алгоритмов и аналитических преобразований.


Основные сведения о Mathcad
Mathcad является математическим редактором, позволяющим проводить разнообразные научные и инженерные расчеты, начиная от элементарной арифметики и заканчивая сложными реализациями численных методов. С точки зрения классификации программного обеспечения, пакет Mathcad — типичный представитель класса PSE-приложений.

Назначение Mathcad
Интерфейс пользователя
Окно приложения Mathcad 12 с документом
Панели инструментов
Основные и математические панели инструментов
Справочная информация
Ресурсы Mathcad содержат большое
Основы вычислений в Mathcad
Операторы численного и символьного вывода
Численный расчет простого выражения

Алгебраические вычисления
В данной главе рассматриваются простые вычисления, осуществляемые в Mathcad. Во-первых, приведено описание имеющихся встроенных операторов и функций, при помощи которых можно рассчитать значение алгебраических выражений, построить графики и т. п. Во-вторых, составлен обзор наиболее простых символьных операций, реализующих в Mathcad аналитические преобразования для решения типичных задач алгебры.

Операторы
Арифметические операторы
Вычислительные операторы
Вставка оператора суммирования
Логические операторы
Вставка логического оператора
Операторы сравнения
Булевы операторы
Матричные операторы
Создание матрицы

Дифференцирование
Операция дифференцирования реализована в Mathcad как в численной, так и в аналитической форме и обозначается при помощи традиционного оператора, т. е. соответствующими математическими символами (подобно сложению или умножению). Если расчеты выполняются с помощью вычислительного процессора, необходимо хорошо представлять себе особенности численного алгоритма, действие которого остается для пользователя "за кадром".

Аналитическое дифференцирование
Аналитическое дифференцирование функции
Оператор дифференцирования
Пример аналитического дифференцирования
График производной функции
Вычисление производной функции в точке
Аналитическое дифференцирование функции
Правильное и неправильное
Определение функций пользователя
Определение функции

Интегрирование
С одной стороны, численное интегрирование — одна из самых простых, с вычислительной точки зрения, операций, с другой — аналитически проинтегрировать можно далеко не каждую функцию. Всегда помните об этом, когда вы сталкиваетесь с численным или аналитическим интегрированием.

Определенный интеграл
Оператор интегрирования
Оператор интегрирования
Численное и символьное
Вычисление интеграла с пределами
Интегрирование функции
Использование оператора интегрирования
О выборе алгоритма численного интегрирования
Выбор алгоритма численного интегрирования
О традиционных алгоритмах интегрирования

Нелинейные алгебраические уравнения
Огромное количество задач вычислительной математики связано с решением нелинейных алгебраических уравнений, а также систем таких уравнений. При этом необходимость решения нелинейных уравнений возникает зачастую на промежуточных шагах, при реализации фрагментов более сложных алгоритмов (к примеру, при расчетах дифференциальных уравнений при помощи разностных схем и т. п.).

Символьное решение уравнений
Вычислительный блок Given/Find
Одно уравнение
налитическое решение кубического уравнения
График функции f (х) =3х3+2х27х
Аналитический поиск нулей функции f(x)
Демонстрация
Символьное решение
Символьное решение - 2
Решить уравнение аналитически не удается

Оптимизация
В этой главе рассматриваются задачи на поиск экстремума функций и близкие к ним задачи приближенного решения алгебраических нелинейных уравнений и систем. Задачи поиска экстремума функции означают нахождение ее максимума (наибольшего значения) или минимума (наименьшего значения) в некоторой области определения ее аргументов.

Поиск экстремума функции
Локальный экстремум
Поиск минимума функции
Поиск максимума функции одной переменной
Выбор численного метода минимизации
Условный экстремум
Примеры
Поиск условного минимума
Поиск условного максимума
Экстремум функции нескольких переменных

Линейная алгебра
Задачи линейной алгебры, решаемые в Mathcad, можно условно разделить на два класса. Первый — это простейшие матричные операции, которые сводятся к определенным арифметическим действиям над элементами матрицы. Они реализованы в виде операторов и нескольких специфических функций, предназначенных для создания, объединения, сортировки, получения основных свойств матриц и т. п.

Простейшие матричные операции
Транспонирование
Ввод матриц и основные операции
Транспонирование векторов и матриц
Сложение и вычитание
Сложение вычитание и смена знака матриц
Сложение матрицы со скалярной величиной
Суммирование элементов
Умножение
Перемножение матриц

Системы линейных уравнений
Одной из центральных проблем вычислительной линейной алгебры является решение систем линейных уравнений, отыскание собственных векторов и собственных значений, а также различные матричные разложения. Все они будут рассмотрены в данной главе, являющейся, фактически, продолжением предыдущей (которая была посвящена простейшим матричным вычислениям).

Вычислительный блок Given/ Find
Решение СЛАУ с помощью вычислительного блока
Демонстрирует запись
Решение СЛАУ записанной в матричной форме
Проверка правильности решения СЛАУ
Функция lsolve
Численное решение СЛАУ
Символьное решение
Произвольные системы линейных уравнений
Переопределенные системы