Задача о пожарном ведре: схема решения
Требуется найти угол вырезки a (альфа), при котором объем ведра будет максимальным.
Эту оптимизационную задачу можно решить аналитически: см. пункт 3.3 на рис. 2.1. Но, как понимает читатель, далеко не всякую математическую задачу можно решить аналитически. Иначе бы не было таких научных дисциплин, как «Прикладная математика», «Программирование», «Численные методы» и др. Поэтому мы рассмотрим численное
решение задачи.
И при численном, и при аналитическом решении задачи мы должны вывести зависимость объема ведра V от угла вырезки a. Далее при аналитическом решении можно взять первую производную от этой функции, приравнять ее к нулю и найти корень полученного уравнения. Не обойтись тут и без второй производной, если нужно убедиться, что найденное решение – максимум, а не минимум или точка перегиба, где, как помнит читатель из курса матанализа, первая производная также равна нулю. Жестянщик, которому поручат сделать пожарное ведро, скорее всего, незнаком с дифференциальным счислением, азы которого мы только что изложили. Но в среде Mathcad поставленная задача вполне окажется по плечу «компьютеризированному» жестянщику.
Рисунок заготовки ведра и самого ведра в пункте 1 на рис. 2.1
сделан с помощью графического редактора Paintbrush и перенесен в Mathcad-документ через буфер обмена Clipboard.
В пункт 2 на рис. 2.1 скопированы данные о геометрии конуса из стандартного справочника Mathcad, который удобен тем, что входит в состав пакета и всегда находится под рукой. Справочник открывается командой Open Book… в меню Help. Перенос данных из справочника в Mathcad-документ также автоматизирован, что исключает их искажение – списывая формулу из книги немудрено и ошибиться.
Пункт 3 на рис. 2.1 – это «воспоминание о будущем». Там записаны операторы символьных (аналитических) преобразований (см. этюд 7). В пункте 3.1 оператором solve решается алгебраическое уравнение, позволяющее сформулировать функции пользователя с именами r, h и V (см. пункт 3.2). Зависимости выводятся из несложной геометрии круга и конуса: длина дуги выкройки (2×p×R-2×p×R×a/360) становится длиной окружности в основании конуса (2×p×r), а высота конуса h, радиус его основания r и радиус заготовки R ¾ это стороны прямоугольного треугольника, длины которых связаны теоремой Пифагора (см. пункт 3.2 на рис. 2.1). Оператор substitude позволяет заменять в выражениях подвыражение на другое и вывести еще одну формулу V(a) без вызова вспомогательных функций r(a) и h(a) – см. конец пункта 3.2 на рис. 2.1.
В пункте 3.3 берется производная от V(a), которая сразу упрощается (оператором символьного преобразования simplify). Несложный анализ вида производной показывает, что оптимальный угол вырезки – это один из корней квадратного уравнения a2-720a+43200. Но мы пока на это не обращаем внимания и начинаем численное решение задачи.
