Математические задачи в пакете MathCAD 12


Линейная алгебра


Линейная алгебра
Линейная алгебра Задачи линейной алгебры, решаемые в Mathcad, можно условно разделить на два класса. Первый — это простейшие матричные операции, которые сводятся к определенным арифметическим дейс...
Простейшие матричные операции
7.1. Простейшие матричные операции Простейшие операции матричной алгебры реализованы в Mathcad в виде операторов, причем их запись максимально приближена к математическому значению. Каждый операто...
1 Транспонирование
7.1.1. Транспонирование Транспонированием называют операцию, переводящую матрицу размерности MxN в матрицу размерности NxM, делая столбцы исходной матрицы строками, а строки — столбцами. Несколько...
Ввод матриц и основные операции
Рисунок 7.1. Ввод матриц и основные операции над ними осуществляются при помощи панели Matrix Примечание 1Примечание 1Все матричные и векторные операторы, о которых пойдет речь, допустимо использо...
Листинг 7 1 Транспонирование векторов и матриц
Листинг 7.1. Транспонирование векторов и матриц  ...
2 Сложение и вычитание
7.1.2. Сложение и вычитание В Mathcad можно как складывать матрицы, так и вычитать их друг из друга. Для этих операторов применяются стандартные символы "+" или "—" соответстве...
Листинг 7 2 Сложение вычитание и смена знака матриц
Листинг 7.2. Сложение, вычитание и смена знака матрицКроме сложения матриц Mathcad поддерживает операцию сложения матрицы со скаляром (листинг 7.3). Каждый элемент результирующей матрицы равен сум...
Листинг 7 3 Сложение матрицы со скалярной величиной
Листинг 7.3. Сложение матрицы со скалярной величинойИногда бывает нужно вычислить сумму всех элементов вектора или матрицы. Для этого существует вспомогательный оператор (листинг 7.4, первая и вто...
Листинг 7 4 Суммирование элементов
Листинг 7.4. Суммирование элементов и вычисление следа матрицы  ...
3 Умножение
7.1.3. Умножение При умножении следует помнить, что матрицу размерности MxN допустимо умножать только на матрицу размерности NxP (р может быть любым). В результате получается матрица размерности M...
Листинг 7 5 Перемножение матриц
Листинг 7.5. Перемножение матрицОбратите внимание (нижняя строка листинга 7.5), что попытка перемножить матрицы А и В несоответствующего (одинакового 2х3) размера оказалась безрезультатной: после...
Листинг 7 6 Умножение вектора и строки
Листинг 7.6. Умножение вектора и строкиАналогично сложению матриц со скаляром определяется умножение и деление матрицы на скалярную величину (листинг 7.7). Символ умножения вводится так же, как и...
Листинг 7 7 Умножение матрицы на скалярную величину
Листинг 7.7. Умножение матрицы на скалярную величину  ...
Векторная алгебра
7.2. Векторная алгебра Векторы являются частным случаем матриц размерности NXI, поэтому для них справедливы все те операции, что и для матриц, если ограничения особо не оговорены. Вместе с тем для...
1 Модуль вектора
7.2.1. Модуль вектора Модуль вектора (vector magnitude) по определению равен квадратному корню из суммы квадратов его элементов (листинг 7.8). ВНИМАНИЕ! Не путайте модуль вектора и определитель ма...
Листинг 7 8 Модуль вектора
Листинг 7.8. Модуль вектора  ...
2 Скалярное произведение
7.2.2. Скалярное произведение Скалярное произведение векторов (vector inner product) определяется как скаляр, равный сумме попарных произведений соответствующих элементов. Векторы должны иметь оди...
Листинг 7 9 Скалярное произведение векторов
Листинг 7.9. Скалярное произведение векторов С осторожностью перемножайте несколько (более двух) векторов. По-разному расставленные скобки полностью изменяют результат умножения. Примеры такого ум...
Листинг 7 10 Скалярное произведение
Листинг 7.10. Скалярное произведение векторов, умноженное на третий вектор  ...
3 Векторное произведение
7.2.3. Векторное произведение Векторное произведение (cross product) двух векторов u и v с углом 9 между ними равно вектору с модулем |u|-|v|sin0, направленным перпендикулярно плоскости векторов u...
Листинг 7 11 Векторное произведение двух векторов
Листинг 7.11. Векторное произведение двух векторов  ...
4 Векторизация массива
7.2.4. Векторизация массива Векторная алгебра Mathcad включает несколько необычный оператор, который называется оператором векторизации (vectorize operator). Этот оператор предназначен, как правил...
Листинг 7 12 Использование оператора
Листинг 7.12. Использование оператора векторизации для перемножения элементов вектораБольшинство неспецифических функций Mathcad не требуют векторизации для проведения одной и той же операции над...
Листинг 7 13 Векторизация аргумента
Листинг 7.13. Векторизация аргумента необязательна для большинства встроенных функций Mathcad  ...
Вычисление определителей и обращение квадратных матриц
7.3. Вычисление определителей и обращение квадратных матриц Рассмотрим еще несколько исключительно важных действий линейной алгебры, связанных с понятием определителя матрицы. Несмотря на то, что...
1 Определитель квадратной матрицы
7.3.1. Определитель квадратной матрицы Определитель (Determinant) матрицы обозначается стандартным математическим символом. Чтобы ввести оператор нахождения определителя матрицы, можно нажать кноп...
Листинг 7 14 Вычисление определителя квадратной матрицы
Листинг 7.14. Вычисление определителя квадратной матрицы  ...
2 Ранг матрицы
7.3.2. Ранг матрицы Рангом (rank) матрицы называют наибольшее натуральное число к, для которого существует не равный нулю определитель k-ro порядка подматрицы, составленной из любого пересечения k...
Листинг 7 15 Вычисление ранга матрицы
Листинг 7.15. Вычисление ранга матрицы  ...
3 Обращение квадратной матрицы
7.3.3. Обращение квадратной матрицы Поиск обратной матрицы возможен, если матрица квадратная и ее определитель не равен нулю. Произведение исходной матрицы на обратную по определению является един...
Листинг 7 16 Вычисление обратной матрицы
Листинг 7.16. Вычисление обратной матрицы  ...
4 Возведение квадратной матрицы в степень
7.3.4. Возведение квадратной матрицы в степень К квадратным матрицам можно формально применять операцию возведения в степень п. Для этого n должно быть целым числом. Результат данной операции прив...
Листинг 7 17 Возведение квадратной матрицы в целую степень
Листинг 7.17. Возведение квадратной матрицы в целую степень  ...
5 Матричные нормы
7.3.5. Матричные нормы В линейной алгебре используются различные векторные и матричные нормы (norm), которые ставят в соответствие матрице некоторую скалярную числовую характеристику. Норма матриц...
Листинг 7 18 Вычисление различных норм матриц
Листинг 7.18. Вычисление различных норм матриц  ...
6 Число обусловленности квадратной матрицы
7.3.6. Число обусловленности квадратной матрицы Еще одной важной характеристикой матрицы является ее число обусловленности (condition number). Число обусловленности является мерой чувствительности...
Листинг 7 19 Вычисление чисел
Листинг 7.19. Вычисление чисел обусловленности матриц (в различных нормах)  ...
Вспомогательные матричные функции
7.4. Вспомогательные матричные функции Перечислим основные встроенные функции, предназначенные для облегчения работы с векторами и матрицами. Они нужны для создания матриц, слияния и выделения час...
1 Автоматическая генерация матриц
7.4.1. Автоматическая генерация матриц Самым наглядным способом создания матрицы или вектора является применение первой кнопки панели инструментов Matrix (Матрицы). Однако в большинстве случаев, в...
Листинг 7 20 Создание матрицы на основе функции пользователя
Листинг 7.20. Создание матрицы на основе функции пользователя Создание матриц для построения 3D графиков Для создания матриц имеются еще две специфические функции, применяемые, в основном, для быс...
Использование функции CreateSpace
Рисунок 7.2. Использование функции CreateSpace для построения графика трехмерной кривой Функция создания матрицы для графика трехмерной поверхности устроена совершенно аналогично, за тем исключени...
Использование функции CreateMesh
Рисунок 7.3. Использование функции CreateMesh для построения графика трехмерной поверхности Результатом обеих рассмотренных функций CreateMesh и CreateSpace является соответствующий вложенный масс...
Листинг 7 21 Создание единичной
Листинг 7.21. Создание единичной и диагональной матрицы заданной размерности  ...
2 Разбиение и слияние матриц
7.4.2. Разбиение и слияние матриц Из матрицы или вектора можно выделить либо подматрицу, либо вектор-столбец, либо отдельный элемент. И обратно, можно "склеить" несколько матриц в одну....
Листинг 7 22 Доступ к отдельным
Листинг 7.22. Доступ к отдельным элементам, столбцам и строкам матрицы Примечание 1Примечание 1Выделить из матрицы один столбец или строку можно и с помощью функции submatrix (листинг 7.23, нижняя...
Листинг 7 23 Выделение подматрицы
Листинг 7.23. Выделение подматрицы Слияние матриц Для того чтобы составить из двух или более матриц одну, в Mathcad предусмотрена пара матричных функций (листинг 7.24): augment (А, B, C, . ..) —...
Листинг 7 24 Примеры слияния матриц
Листинг 7.24. Примеры слияния матриц Специфические преобразования матриц Еще две встроенных функции Mathcad позволяют создавать матрицы на основе некоторой имеющейся матрицы (листинг 7.25):  ...
Листинг 7 25 Создание матриц на основе другой матрицы
Листинг 7.25. Создание матриц на основе другой матрицы  ...
3 Сортировка элементов матриц
7.4.3. Сортировка элементов матриц Часто бывает нужно переставить элементы матрицы или вектора, расположив их в определенной строке или столбце в порядке возрастания или убывания. Для этого имеютс...
Листинг 7 26 Сортировка вектора
Листинг 7.26. Сортировка вектора...
Листинг 7 27 Сортировка матриц по строке и столбцу
Листинг 7.27. Сортировка матриц по строке и столбцу  ...
4 Вывод размера матрицы
7.4.4. Вывод размера матрицы Для получения сведений о характеристиках матриц или векторов предусмотрены следующие встроенные функции (листинги 7.28 и 7.29 соответственно): rows (A) — число строк;...
Листинг 7 28 Размер матриц
Листинг 7.28. Размер матриц...
Листинг 7 29 Размер векторов
Листинг 7.29. Размер векторов   ...








- Начало -    



Книжный магазин