Матричные вычисления в Mathcad

http://www.norma-stab.ru/stabilizire_vibor.html 15 квт сколько ампер. | Нотариальная контора нотариуса Калиниченко Т. Г.. Система защиты от протечек воды

Обыкновенные дифференциальные уравнения динамические системы


Глава 9 Обыкновенные дифференциальные уравнения динамические системы
Глава 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения: динамические системы Обыкновенные дифференциальные уравнения: динамические системы9.1. О постановке задач9.1.1. Задачи Коши для ОДУ9.1.2. Фазовы...
Обыкновенные дифференциальные уравнения динамические системы
Обыкновенные дифференциальные уравнения: динамические системы В этой главе рассматриваются численные методы решений задач с начальными условиями (называемых задачами Коши) для обыкновенных диффере...
О постановке задач
9.1. О постановке задач Начнем разговор об обыкновенных дифференциальных уравнениях с формулировки типичных задач, сопровождая вопросы их постановки конкретными примерами. При этом мы будем, неско...
1 Задачи Коши для ОДУ
9.1.1. Задачи Коши для ОДУ Дифференциальные уравнения — это уравнения, в которых неизвестными являются не переменные (т. е. числа), а функции одной или нескольких переменных. Эти уравнения (или си...
Листинг 9 1 демонстрирует решение
Листинг 9.1 демонстрирует решение простого ОДУ второго порядка, описывающего модель затухающего гармонического осциллятора. Само уравнение приведено во второй строке листинга, после задания параме...
Листинг 9 1 Решение задачи Коши
Листинг 9.1. Решение задачи Коши для ОДУ второго порядка (модель затухающего гармонического осциллятора)Как показывает листинг 9.1, помимо самого уравнения потребовалось определить два начальных у...
Решение уравнения w2у"+?у'+у=0 (продолжение листинга 9 1)
Рисунок 9.1. Решение уравнения w2у"+?у'+у=0 (продолжение листинга 9.1) Имеются два типа задач, которые возможно решать с помощью Mathcad:  задачи Коши — для которых определены начальные...
2 Фазовый портрет динамической системы
9.1.2. Фазовый портрет динамической системы Модели, основанные на задачах Коши для ОДУ, часто называют динамическими системами, подчеркивая, что, как правило, они содержат производные по времени t...
Решение уравнения w2у' '+?у'+у=0 на фазовой плоскости (продолжение листинга 9 1)
Рисунок 9.2. Решение уравнения w2у' '+?у'+у=0 на фазовой плоскости (продолжение листинга 9.1) Как правило, решение задач Коши для ОДУ и их систем — задача хорошо разработанная и с вычислительной т...
Решение уравнения со2у' '+у=0 для различных начальных условий (коллаж графиков)
Рисунок 9.3. Решение уравнения со2-у' '+у=0 для различных начальных условий (коллаж графиков) Резюмируя содержание вводного раздела главы, перечислим еще раз типичные постановки задач, характерные...
Дифференциальное уравнение Nго порядка
9.2. Дифференциальное уравнение N-го порядка Для решения ОДУ порядка N>1 в Mathcad предусмотрены две возможности: вычислительный блок Given/odesolve (начиная с версии 2000) — в этом случае реш...
Решение уравнения w2у''+?у '+у+?у2=0 (продолжение листинга 9 2)
Рисунок 9.4. Решение уравнения w2у''+?у '+у+?у2=0 (продолжение листинга 9.2) Еще раз подчеркнем, что результатом применения блока Given/odesolve является функция y(t), определенная на промежутке (...
Листинг 9 2 решение задачи Коши для ОДУ второго порядка (модель нелинейного осциллятора)
Листинг 9.2. решение задачи Коши для ОДУ второго порядка (модель нелинейного осциллятора)Пользователь имеет возможность выбирать между двумя модификациями численного метода Рунге—Кутты. Для смены...
Система N дифференциальных уравнений
9.3. Система N дифференциальных уравнений При помощи Mathcad можно решать системы N>1 ОДУ первого порядка, если они записаны в стандартной форме (Коши) в виде векторного соотношения: Y' (t)=F(Y...
1 Встроенные функции для решения систем ОДУ
9.3.1. Встроенные функции для решения систем ОДУ В Mathcad имеется несколько встроенных функций, которые позволяют решать задачу Коши различными численными методами. Для "хороших" нежест...
Листинг 9 3 Решение системы двух ОДУ(модель осциллятора)
Листинг 9.3. Решение системы двух ОДУ(модель осциллятора)...
Результат выдаваемый встроенной функцией в качестве решения системы ОДУ (продолжение листинга 9 3}
Рисунок 9.5. Результат, выдаваемый встроенной функцией в качестве решения системы ОДУ (продолжение листинга 9.3} Первая строка листинга представляет задание параметров модели, вторая — начального...
График решения системы ОДУ осциллятора (продолжение листинга 9 3)
Рисунок 9.6. График решения системы ОДУ осциллятора (продолжение листинга 9.3) ВНИМАНИЕ! Обратите внимание на некоторое разночтение в обозначении индексов вектора начальных условий и матрицы решен...
2 Решение одного уравнения (N=1)
9.3.2. Решение одного уравнения (N=1) Метод решения ОДУ при помощи встроенных функций rkfixed, Rkadapt или Bulstoer (в противоположность вычислительному блоку Given/ odesoive) сохранился с пре...
Решение уравнения у'=1у2 (продолжение листинга 9 4)
Рисунок 9.7. Решение уравнения у'=1-у2 (продолжение листинга 9.4) Построение графика (Рисунок 9.7) осуществляется так же, как и в рассмотренном в предыдущем разделе случае N уравнений, при помощи...
Листинг 9 4 Решение задачи Коши для ОДУ первого порядка
Листинг 9.4. Решение задачи Коши для ОДУ первого порядка.  ...
3 Решение систем ОДУ в одной заданной точке
9.3.3. Решение систем ОДУ в одной заданной точке Зачастую при решении дифференциальных уравнений требуется определить значения искомых функций не на всем интервале (t0.t1), а только в одной его по...
Листинг 9 5 Поиск аттрактора системы двух ОДУ модели осциллятора
Листинг 9.5. Поиск аттрактора системы двух ОДУ модели осциллятораВНИМАНИЕ! Функции bulstoer и rkadapt (те, что пишутся со строчной буквы) не предназначены для нахождения решения в промежуточных то...
4 О численных методах
9.3.4. О численных методах В завершение раздела сделаем несколько важных замечаний относительно выбора численного алгоритма решения ОДУ и задания его параметров. Они не претендуют на общность, но,...
Решение системы ОДУ в зависимости от числа узлов М (продолжение листинга 9 6)
Рисунок 9.8. Решение системы ОДУ в зависимости от числа узлов М (продолжение листинга 9.6)...
Фазовый портрет решения системы ОДУ при М=40 и М=200 (продолжение листинга 9 6)
Рисунок 9.9. Фазовый портрет решения системы ОДУ при М=40 и М=200 (продолжение листинга 9.6) Как можно заметить, несмотря на, в целом, правильное решение ОДУ в узлах (оно показано кружками и квадр...
Листинг 9 6 Решение системы ОДУ как функции числа шагов
Листинг 9.6. Решение системы ОДУ как функции числа шаговПогрешность алгоритмов решения ОДУ в точке Обратимся теперь к функциям buistoer и rkadapt (тем, что пишутся со строчной буквы), которые пред...
Фазовый портрет полученный bulstoer (a) и rkadapt (б) (продолжение листинга 9 5)
Рисунок 9.10. Фазовый портрет, полученный bulstoer (a) и rkadapt (б) (продолжение листинга 9.5) Поэтому для экономии времени расчетов в функции buistoer можно выбирать и большие асе. Чтобы обеспеч...
Листинг 9 7 Число шагов адаптивного численного алгоритма в зависимости от погрешности acc
Листинг 9.7. Число шагов адаптивного численного алгоритма в зависимости от погрешности acc Таким образом, проводя тестовые расчеты для различных задач и подбирая наилучший набор параметров, можно...
Зависимость числа шагов от параметра асе численных методов (продолжение листинга 9 7)
Рисунок 9.11. Зависимость числа шагов от параметра асе численных методов (продолжение листинга 9.7)  ...
Жесткие системы ОДУ
9.4. Жесткие системы ОДУ До сих пор мы имели дело с "хорошими" уравнениями, которые надежно решались численными методами Рунге—Кутты. Однако имеется класс так называемых жестких (stiff)...
1 Что такое жесткие ОДУ?
9.4.1. Что такое жесткие ОДУ? Исторически интерес к жестким системам возник в середине XX в. при изучении уравнений химической кинетики с одновременным присутствием очень медленно и очень быстро п...
Листинг 9 8 Решение нежесткого ОДУ
Листинг 9.8. Решение нежесткого ОДУ...
Решение нежесткого ОДУ методом Рунге—Кутты (продолжение листинга 9 8)
Рисунок 9.12. Решение нежесткого ОДУ методом Рунге—Кутты (продолжение листинга 9.8) Обратите внимание на значение коэффициента -10 во второй строке листинга. Если изменить его на -50, то решение м...
Неверное решение более жесткого ОДУ методом Рунге—Кутты (листин 9 8 с коэффициентом 50)
Рисунок 9.13. Неверное решение более жесткого ОДУ методом Рунге—Кутты (листин 9.8 с коэффициентом -50) Таким образом, во-первых, мы выяснили, что одни и те же уравнения с разными параметрами могут...
2 Функции для решения жестких ОДУ
9.4.2. Функции для решения жестких ОДУ Решение жестких систем дифференциальных уравнений можно осуществить только с помощью встроенных функций, аналогичных по действию семейству рассмотренных выше...
Листинг 9 9 Решение жесткого ОДУ алгоритмом RADAUS
Листинг 9.9. Решение жесткого ОДУ алгоритмом RADAUS...
Решение жесткого ОДУ методом RADAUS (продолжение листингов 9 8 и 9 9)
Рисунок 9.14. Решение жесткого ОДУ методом RADAUS (продолжение листингов 9.8 и 9.9) В заключение приведем соответствующие встроенные функции, которые применяются для решения жестких систем ОДУ не...
3 Пример химическая кинетика
9.4.3. Пример: химическая кинетика Рассмотрим классическую модель химической кинетики (Робертсон, 1966), которая как нельзя лучше передает смысл понятия жесткости ОДУ. Попытка решения стандартными...
Листинг 9 10 Жесткая система ОДУ химической кинетики
Листинг 9.10. Жесткая система ОДУ химической кинетикиБросается в глаза сильно различающийся порядок коэффициентов при разных слагаемых. Именно степень этого различия чаще всего и определяет жестко...
Листинг 9 11 Якобиан рассматриваемой системы ОДУ химической кинетики
Листинг 9.11. Якобиан рассматриваемой системы ОДУ химической кинетикиДля примера, приведенного в листинге 9.10, стандартным методом Рунге— Кутты все-таки удается найти решение (оно показано на Рис...
Решение жесткой системы ОДУ химической кинетики методом Рунге—Кутты (продолжение листинга 9 10)
Рисунок 9.15. Решение жесткой системы ОДУ химической кинетики методом Рунге—Кутты (продолжение листинга 9.10) Применение специфических алгоритмов Покажем действие этих алгоритмов на том же примере...
Листинг 9 12 Решение жесткой системы ОДУ химической кинетики
Листинг 9.12. Решение жесткой системы ОДУ химической кинетики Расчеты показывают, что для получения того же результата (который был изображен на Рисунок 9.15) оказалось достаточно в тысячу раз мен...
Решение более жесткой системы ОДУ химической кинетики методом Розенброка
Рисунок 9.16. Решение более жесткой системы ОДУ химической кинетики методом Розенброка Для решения очень жестких систем особенно подходит функция Radau, которая соблазнительна еще и тем, что избав...
Примеры классические динамические системы
9.5. Примеры: классические динамические системы В предыдущих разделах было использовано в качестве примера в основном линейное уравнение осциллятора (оно содержало только первую степень неизвестны...
1 Модели динамики биологических популяций
9.5.1. Модели динамики биологических популяций Модель взаимодействия "хищник—жертва" независимо предложили в 1925— 1927 гг. Лотка и Вольтерра. Два дифференциальных уравнения (листинг 9.1...
Листинг 9 13 Модель "хищникжертва"
Листинг 9.13. Модель "хищник-жертва" Модель замечательна тем, что в такой системе наблюдаются циклическое увеличение и уменьшение численности и хищника (Рисунок 9.17), и жертвы, так част...
График решения (слева) и фазовый
Рисунок 9.17. График решения (слева) и фазовый портрет (справа) системы "хищник—жертва" (продолжение листинга 9.13) Рассмотренную модель динамики двух популяций легко можно модифицироват...
График решения (слева) и фазовый портрет (справа) модели конкуренции популяций
Рисунок 9.18. График решения (слева) и фазовый портрет (справа) модели конкуренции популяций  ...
2 Автоколебания
9.5.2. Автоколебания Рассмотрим решение уравнения Ван дер Поля, описывающего электрические колебания в замкнутом контуре, состоящем из соединенных последовательно конденсатора, индуктивности, нели...
Листинг 9 14 Модель Ван дер Поля
Листинг 9.14. Модель Ван дер Поля...
График решения (слева) и фазовый портрет (справа) уравнения Ван дер Поля (продолжение листинга 9 14)
Рисунок 9.19. График решения (слева) и фазовый портрет (справа) уравнения Ван дер Поля (продолжение листинга 9.14) Решением уравнения Ван дер Поля являются колебания, вид которых для µ=1 показан н...
Решение уравнения Ван дер Поля при других начальных условиях у=2 у' =3
Рисунок 9.20. Решение уравнения Ван дер Поля при других начальных условиях у=-2, у' =-3  ...
3 Странный аттрактор
9.5.3. Странный аттрактор Одна из самых знаменитых динамических систем предложена в 1963 г. Лоренцем в качестве упрощенной модели конвективных турбулентных движений жидкости в нагреваемом сосуде т...
Листинг 9 15 Модель Лоренца
Листинг 9.15. Модель ЛоренцаРешением системы Лоренца при определенном сочетании параметров (Рисунок 9.21 и 9.22) является странный аттрактор (или аттрактор Лоренца) — притягивающее множество траек...
Решение в виде аттрактора Лоренца (продолжение листинга 9 15)
Рисунок 9.21. Решение в виде аттрактора Лоренца (продолжение листинга 9.15)...
Аттрактор Лоренца на фазовой плоскости (продолжение листинга 9 15)
Рисунок 9.22. Аттрактор Лоренца на фазовой плоскости (продолжение листинга 9.15)...
Решение системы Лоренца с измененным параметром г=10
Рисунок 9.23. Решение системы Лоренца с измененным параметром г=10 Замечательно, что решение подобных нелинейных динамических систем можно получить только численно, поэтому их изучение стало бурно...
4 Брюсселятор
9.5.4. Брюсселятор До сих пор в этой главе в качестве примеров расчета динамических систем мы приводили графики 1—3 траекторий на фазовой плоскости. Однако для надежного исследования фазового порт...
Листинг 9 16 Построение фазового портрета для модели брюсселятора
Листинг 9.16. Построение фазового портрета для модели брюсселятораПредложенный алгоритм формирует из отдельных матриц решений системы ОДУ с разными начальными условиями объединенную матрицу U. Пар...
Фазовый портрет брюсселятора при В=0 5 (продолжение листинга 9 16)
Рисунок 9.24. Фазовый портрет брюсселятора при В=0.5 (продолжение листинга 9.16) Как видно из Рисунок 9.24, все траектории, вышедшие из разных точек, асимптотически стремятся к одному и тому же ат...
Фазовый портрет брюсселятора при В=2 5
Рисунок 9.25. Фазовый портрет брюсселятора при В=2.5 Читатели, сталкивающиеся с расчетом динамических систем, несомненно, оценят возможности Mathcad по построению фазовых портретов и исследованию...








- Начало -